Радиационные переходы — это изменения квантового состояния материальной квантовой системы (атомы, ионы, молекулы и т.д.) в результате взаимодействия с электромагнитным полем, сопровождающиеся излучением или поглощением фотонов. Теория включает квантовую механику, квантовую электродинамику и математические инструменты, такие как сферические тензоры и теория групп. В данной статье рассматриваются радиационные переходы ионов, легированных в твердые тела, и подводятся итоги прошлых исследований; при этом соблюдается академическая строгесть, но стремится к краткому изложению базовых теоретических положений и математических выражений, а также ясному описанию физической картины и механизмов. Включены атомные квантовые состояния, квантизованное электромагнитное поле, мультипольные радиационные переходы и правила выбора, вынужденное поглощение, вынужденное излучение и спонтанное излучение, интенсивность переходов и время жизни возбужденного состояния; а также f-f переходы ионов редкоземельных элементов, 4f-5d переходы и d-d переходы переходных металлов, с рассмотрением теорий Дженкинсона-Оскарсона, кристаллического поля, электрон-вибрационного взаимодействия и модели Доренбоса; а также статистический анализ, машинное обучение и расчеты от первых принципов. Это может служить теоретической основой для исследований люминесцентных материалов с легированием редкоземельными элементами и переходными металлами.